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La caída del Imperio Romano de Occidente se sitúa
tradicionalmente en el año 476, que fue precisamente el año en que nació Aryabhata, el
autor de uno de los textos matemáticos Hindúes más antiguos que conocemos; esta claro,
sin embargo, que debió haber actividad de tipo matemático en la India mucho antes de
esta época, probablemente incluso antes de la fundación mítica de Roma el 753
A.C. La
India tuvo también, como Egipto, sus ‘tensadores de cuerda’ y los conocimientos
geométricos primitivos se fueron decantando de la planificación de templos y de la
medición y construcción de altares, adoptando la forma de un cuerpo de conocimiento
conocido como los Sulvasutras o "reglas de la cuerda", La operación de extender
o tensar las cuerdas nos recuerda sorprendentemente los orígenes de la geometría
egipcia, así como su asociación con la construcción de templos y altares nos recuerda
de una manera inmediata el posible y discutido origen ritual de la matemática. Sin
embargo, la gran dificultad que hay para atribuirle una fecha determinada a estas reglas
es solo comparable con las dudas que se plantean relativas a la influencia que pudieron
tener en los matemáticos Hindúes posteriores. Más aun que en el caso de China, nos
encontramos con una sorprendente falta de continuidad de la tradición en la matemática
hindú; las contribuciones importantes son acontecimientos episódicos separados por
largos intervalos de tiempo sin ningún progreso.
Las civilizaciones de China y de la India son
mucho más antiguas que las de Grecia y Roma, aunque no más que las que surgieron
en los valles de Mesopotamia y del Nilo; ambas
se remontan a la llamada Edad Potámica, mientras que las culturas griega y romana se
desarrollaron durante la Edad Talásica. Aunque las civilizaciones que tuvieron su cuna en
las cuencas de los ríos Amarillo y Yangtze son comparables en Edad a las que nacieron a
lo largo del Nilo o entre el Eúfrates y el Tigris, los registros cronológicos en el caso
de China son mucho menos fiables que los que existen para Egipto y Babilonia. La
operación de fechar los documentos matemáticos chinos no es nada fácil y, por ejemplo,
las estimaciones que se han hecho acerca del Chou Pei Suan Ching, considerado generalmente
como el más antiguo de los clásicos de contenido matemático, difieren entre sí en casi
mil años; el problema se complica por el hecho de que esta obra pudiera muy bien ser
debida a varios autores de diferentes épocas. Algunos historiadores consideran el Chou
Pei como un buen ejemplo de lo que era la matemática china del 1200
A.C. aproximadamente,
pero hay otros que sitúan la obra en el primer siglo anterior a nuestra era. Una fecha en
torno al 300 A.C. podría parecer razonable, por lo tanto, poniéndola así en estrecha
competencia con otro tratado, el Chui-chang suan-shu, escrito hacia el 250
A.C., es decir
poco antes del advenimiento de la dinastía Han (202 A.C.) Las palabras "Chou
Pei" parecen referirse al uso del gnomon para el estudio de las órbitas circulares
en los cielos, y le libro con el mismo titulo trata, de hecho, de cálculos astronómicos,
aunque incluya también una introducción a las propiedades del
triángulo rectángulo,
así como algunas cosas sobre el uso de las fracciones. El libro esta escrito en forma de
dialogo entre un príncipe y su ministro sobre el calendario; el ministro explica a su
soberano que el arte de los números deriva del circulo y del cuadrado, de los que el
cuadrado pertenece a la tierra y el circulo a los cielos. El Chou Pei nos revela que en
China la geometría, tal como en Egipto, debió surgir de la agrimensura, y que, como
pasaba en Babilonia, la geometría china se reducía a un ejercicio numérico de
aritmética y álgebra. Parece haber en él algunas indicaciones relativas al teorema de
Pitágoras, un teorema tratado, en todo caso, algebraicamente por los chinos.
Los Sulvasutras
Se conservan tres versiones, todas ellas en verso, de la obra denominada como
los Sulvasutras, la más conocida de las cuales lleva el nombre de Apastamba. En
esta exposición primitiva, que puede remontarse quizá tan lejos en el tiempo
como a la época de Pitágoras, nos encontramos con reglas para la construcción de
ángulos rectos por medios de ternas cuyas longitudes constituyen ternas
pitagóricas, tales como son 3, 4 y 5, ó 5, 12 y 13, ó 8, 15 y 17, ó 12, 35 y 37.
Sin embargo, todas estas ternas se pueden derivar fácilmente de la vieja regla
Babilónica para construirlas, y por lo tanto no es improbable que hubiera una
influencia Mesopotámica en los Sulvasutras . Apastamba sabia que el cuadrado
construido sobre la diagonal de un rectángulo es igual a la suma de los
cuadrados construidos sobre dos lados adyacentes, pero esta forma general del
teorema de Pitágoras también puedo se tomada de Mesopotamia. Más difícil de
explicar es otra de las reglas que da Apastamba, una que nos recuerda
fuertemente algunos teoremas del álgebra geométrica que aparecen en el libro II
de los Elementos de Euclides. Es la siguiente: Para construir un cuadrado
equivalente (en área) a un cuadrado ABCD dado llévense los lados menores sobre
los mayores de manera que AF=AB=BE=CD y trácese HG mediatriz de los segmentos CE
y DF; prolónguese EF hasta K, GH hasta L y AB hasta M, de manera que FKHL=FH=AM,
y trácese la recta LKM. Constrúyase ahora un rectángulo con diagonal igual a LG
y con su lago más corto igual a HF; entonces el lado más largo de este
rectángulo es el lado x del cuadrado buscado.
Son tan dudosos y discutidos los orígenes y el período durante el que se
desarrollaron los Sulvasutras que no se puede decir con seguridad si estas
reglas están relacionadas o no con la primitiva agrimensura egipcia o con el
problema griego más tardío de la duplicación del altar cúbico. Los Sulvasutras
han sido fechados por los historiadores de una manera muy variada dentro de un
intervalo de tiempo de casi 1000 años, que se extiende desde el siglo VIII A.C.
al siglo II de nuestra era. La cronología local en las antiguas culturas del
lejano Oriente apenas merece ninguna confianza cuando vemos que la tradición
hindú ortodoxa se vanagloria de importantes trabajos astronómicos de hace más de
2.000.000 de años, y cuando los cálculos conducen a billones de días
transcurridos desde el comienzo de la vida de Brahma al 400 de nuestra era
aproximadamente. Las referencias en la literatura Védica a progresiones
aritméticas y geométricas que pretenden remontarse al 2000 A.C. pueden ser más
seguras, probablemente, pero lo cierto es que no hay ningún documento
contemporáneo de la India que confirme esto. También se ha pretendido que el
primer reconocimiento de la existencia de lo inconmensurable tuvo lugar en la
India durante el período de los Sulvasutras, pero tales pretensiones no están
comprobadas en absoluto. La causa a favor de un descubrimiento temprano de las
magnitudes inconmensurables por los Hindúes la hace de lo más improbable el
reiterado interés o incapacidad de los matemáticos Hindúes para enfrentarse con
los conceptos fundamentales.
Los Siddhantas
Al período de los Sulvasutras, que se cierra hacia el siglo II de nuestra era,
le sigue la época de los Siddhantas o sistemas astronómicos. El comienzo de la
dinastía del rey Gupta (hacia el 290) señala un renacimiento de la cultura
sánscrita, y los Siddhantas parecen haber formado parte de este renacer.
Conocemos los nombres de cinco versiones diferentes de los Siddhantas, que son
el Paulisha Siddhanta, Surya Siddhanta, Vasisishta Siddhanta, Paitamaha
Siddhanta y Romanka Siddhanta. De entre todos ellos, el Surya Siddhanta o
"Sistema del Sol", escrito hacia el año 400, parece ser el único que se conserva
completo; según el texto mismo, escrito en verso en estrofas épicas, es la obra
de Surya, el dios Sol. Las teorías astronómicas principales son evidentemente
griegas, pero aparecen mezcladas con una cantidad considerable del viejo
folklore hindú. El Paulisha Siddhanta, que data de hacia el 380, fue resumido
por el matemático hindú Varahamihira y a él se refiere frecuentemente el sabio
árabe Al-Burini, quien le atribuye directamente o un origen o una influencia
griega. Los escritores más tardíos nos informan que todos los Siddhantas estaban
esencialmente de acuerdo en su contenido, variando sólo en la fraseología
utilizada, y así podemos suponer que los otros, al igual que el Surya Siddhanta,
eran tratados de astronomía formulados por medio de reglas crípticas en verso
sánscrito, con muy pocas demostraciones y ninguna demostración.
Se suele admitir que los Siddhantas aparecieron hacia finales del siglo IV o
comienzos del V, pero en lo que ya hay un marcado desacuerdo es en lo que se
refiere a los orígenes de los conocimientos que contienen. Los historiadores
Hindúes insisten, por supuesto, en la originalidad y la independencia de sus
autores, mientras que los escritores occidentales se inclinan a ver en ellos
signos indudables y claros de influencia griega. Es probable, por ejemplo, que
el Paulisha Siddhanta provenga en gran parte de la obra del astrólogo Pablo, que
vivió en Alejandría poco tiempo antes de la fecha presumible en que fueron
compuestos los Siddhantas. Esta influencia vendría a explicar de una manera
natural y sencilla las obvias semejanzas que hay entre algunas partes de los
Siddhantas y la trigonometría y astronomía de Ptolomeo. El Paulisha Siddhanta,
por ejemplo, utiliza para p el valor Pi, que coincide esencialmente con el valor
sexagesimal 3º8’30’’ de Ptolomeo.
Incluso aunque los Hindúes adquiriesen sus conocimientos de trigonometría del
helenismo cosmopolita de Alejandría, el material tomó en sus manos una forma que
iba a ser muy significativa. Mientras que la trigonometría de Ptolomeo se basaba
en la relación funcional entre las cuerdas y los correspondientes arcos o
ángulos centrales en una circunferencia, que ellas subtienden, los escritores de
los Siddhantas transformaron esto para convertirlo en un estudio de la
correspondencia entre la mitad de la cuerda y la mitad del arco o del ángulo
central subtendido por la cuerda total. Así fue como nació, aparentemente en la
India, el antepasado de la función trigonométrica moderna que conocemos como el
seno de un ángulo, y la introducción de esta función seno representa
probablemente la contribución principal de los Siddhantas a la historia de las
Matemáticas. Aunque se acepta generalmente que este cambio de la cuerda completa
a la semicuerda tuvo lugar en la India, el historiador de la ciencia de
principios de siglo Paul Tannery formuló la hipótesis de que esta transformación
de la trigonometría pudo haber ocurrido en Alejandría durante el período
post-ptolemaico. Sea o no sea correcta esta hipótesis, lo cierto es que el uso
posterior de la semicuerda se extendió a través de los Hindúes y no de los
griegos, y nuestra palabra ‘seno’ se deriva del nombre hindú ‘jiva’
Aryabhata
Durante el siglo sexto, es decir, no mucho tiempo después de la composición de
los Siddhantas, vivieron dos matemáticos Hindúes de los cuales se sabe que
escribieron libros sobre el mismo tipo de materias. El más viejo y a la vez el
más importante de los dos fue Aryabhata, cuya obra más conocida, escrita hacia
el 499 y titulada Aryabhatiya, es un delgado volumen escrito en verso que cubre
diversos temas de astronomía y matemáticas. Se conocen los nombres de varios
matemáticos Hindúes anteriores a esta época, pero no se ha conservado nada de
sus obras, salvo unos breves fragmentos. A este respecto, pues, la posición del
Aryabhatiya es bastante análoga para el caso de la India a la de los Elementos
de Euclides para Grecia ocho siglos antes. Las dos obras son, en efecto,
recopilaciones de desarrollos anteriores compiladas por un único autor. Y, sin
embargo, hay más diferencias, y más sorprendentes, que semejanzas entre estas
dos obras; los elementos constituyan una síntesis bien ordenada lógicamente de
la matemática pura, expuesta con un alto grado de abstracción y con un objetivo
pedagógico evidente, mientras que el Aryabhatiya es una breve obra descriptiva
escrita en 1232 estrofas métricas, con el objeto de suplementar las reglas de
cálculo utilizadas en astronomía y en las técnicas de medición matemáticas, sin
ninguna relación con la lógica o la metodología deductiva. Una tercera parte
aproximadamente de la obre trata de ganitapada, es decir, de matemáticas; esta
sección comienza con los nombres de las potencias de diez hasta el lugar décimo,
y a continuación formula un conjunto de instrucciones para calcular raíces
cuadradas y cúbicas de números enteros. Sigue un sistema de reglas para el
cálculo de áreas, la mitad más o menos de las cuales son erróneas; para el área
de un triángulo se da la regla correcta de calcular la mitad de producto de la
base por la altura, para el volumen de la pirámide también se toma la mitad del
producto de la base por la altura. El área de un círculo se calcula
correctamente como la mitad del producto de la circunferencia por la mitad del
diámetro, pero el volumen de la esfera viene dado incorrectamente como el
producto el área de un círculo máximo por la raíz cuadrada de esta área. Al
tratar del cálculo de áreas de cuadriláteros aparecen de nuevo reglas correctas
e incorrectas unas al lado de las otras: el área de un trapecio viene dada por
la semisuma de los lados paralelos por la distancia perpendicular entre ellos, y
a continuación sigue la regla absurda e incomprensible de que el área de
cualquier figura plana se calcula determinando dos de sus lados y
multiplicándolos. Hay una regla en el Aryabhatiya que señalan con orgullo los
historiadores Hindúes de la matemática, que es la siguiente:
Suma 4 a 100, multiplica por 8 y súmale 62000. El resultado te da
aproximadamente la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 20000.
Aquí se puede ver utilizado el equivalente a 3,1416 como valor de p , lo cual es
ciertamente notable, pero se debe recordar que este es el valor utilizado por
Ptolomeo. El hecho más probable es que Aryabhata estuviera influenciado en este
contexto por sus predecesores griegos viene reforzado por su adopción de la
miríada o 10000 unidades como medida del radio de la circunferencia.
Una parte típica del Aryabhatiya es la que trata de progresiones aritméticas, la
cual contiene reglas para calcular la suma de los términos de una progresión, y
también para hallar el número de términos de una progresión conocido el primer
término, la diferencia y la suma de todos los términos. La primera de estas
reglas había sido ya conocida mucho antes por otros escritores, la segunda
aparece formulada en una forma tan curiosa como complicada:
Multiplíquese la suma de la progresión por ocho veces la diferencia común,
súmese el cuadrado de la diferencia entre el doble del primer término y la
diferencia común; tómese la raíz cuadrada de este número, réstese el doble del
primer término, divídase por la diferencia común, añádase uno y divídase por
dos. El resultado será igual al número de términos.
Aquí, al igual que a todo lo largo del Araybhatiya, no se da ninguna motivación
ni justificación para esta regla. Probablemente fue obtenida resolviendo una
ecuación de segundo grado, cuyo conocimiento podría muy bien haber venido de
Mesopotamia o Grecia. A continuación da unos problemas realmente complicados
sobre interés compuesto (es decir, sobre progresiones geométricas), el autor del
libro trata, en un lenguaje muy florido, del problema bien elemental de calcular
el cuarto proporcional a tres números dados:
En la regla de tres multiplica el fruto por el deseo y divide por la medida. El
resultado será el fruto del deseo.
Esta es, desde luego, la regla bien conocida que nos dice que si , entonces ,
donde a es ‘la medida’, b ‘el fruto’, c ‘el deseo’ y x ‘el fruto del deseo’.
Realmente puede decirse que la obra de Aryabhata es un ‘popurrí’ de o sencillo y
lo complicado, a la vez que de lo correcto y lo incorrecto. El sabio árabe
Al-Biruni caracterizaba, medio milenio más tarde, la matemática hindú como una
mezcla de vulgares guijarros y valiosos cristales, descripción que cuadra
perfectamente con el Araybhatiya.
El sistema de numeración hindú
La segunda mitad del Aryabhatiya trata de la medida y cálculo de tiempos y de
trigonometría esférica, y aquí es donde se encuentra un elemento nuevo que iba a
dejar una huella permanente en la matemática de las generaciones futuras: el
sistema de numeración posicional decimal. No se sabe exactamente de qué manera
efectuaba los cálculos Aryabhata, pero en su afirmación de que "de un lugar a
otro, cada uno es diez veces el que le precede", hay una clara indicación de que
en su mente estaba de una manera consciente la aplicación del principio
posicional. La idea de "valor local o posicional" había sido ya un elemento
absolutamente esencial del sistema de numeración Babilónico, y quizá lo que los
Hindúes hicieron fue darse cuenta de que esta idea era aplicable también al
sistema de notación decimal para los números enteros, que ya se estaba usando en
la India. El desarrollo histórico de las notaciones numéricas en la India parece
haber seguido más o menos los mismos pasos que en Grecia; las inscripciones
procedentes del período cultural más primitivo de Mohenjo Daro muestran al
principio un sistema consistente simplemente en el uso de palotes verticales
reunidos en grupos, pero hacia la época de Asoka (siglo III A.C.) se usaba ya un
sistema parecido al Herodiánico. En este esquema nuevo se seguía usando el
principio repetitivo, pero se adoptaron a la vez nuevos símbolos para unidades
de orden superior, concretamente para cuatro, diez, veinte y cien. Esta manera
de escribir los números, llamada escritura Karosthi, fue evolucionando
gradualmente para dar lugar a otro sistema de notación, conocido como el de los
caracteres Brahmi, que recuerda mucho al cifrado alfabético del sistema jónico
griego; cabe preguntarse, por lo tanto, si el hecho de que el cambio tuviera
lugar en la India poco después del período durante el cual los numerales
Herodiánicos se vieron desplazados por los jónicos en Gracia fue una simple
coincidencia o no.
De los numerales cifrados del sistema Brahmi a nuestra notación moderna para los
números naturales hay que superar únicamente dos breves etapas; la primera
consiste en reconocer que utilizando estrictamente el principio posicional, las
cifras para representar los nueve primeros números pueden servir también como
cifras para los correspondientes múltiplos de diez o, por la misma razón, como
cifras para representar los múltiplos correspondientes de cualquier potencia de
diez. El reconocer este hecho básico había convertido de golpe en superfluas
todas las cifras Brahmi, salvo las nueve primeras. No se sabe cuándo se produjo
exactamente la reducción a nueve cifras y, de hecho, lo más probable es que la
transición a la notación más ‘económica’ se hiciera de una manera gradual.
Parece seguro que este importante cambio tuvo lugar en la india, pero los
orígenes de la inspiración para llevarlo a cabo son, en cambio, poco claros.
Posiblemente los llamados numerales Hindúes fueran el resultado de un desarrollo
interno únicamente; quizá se desarrollaron primero en el contexto de los
intercambios occidentales de la India con Persia, en cambio, ya que el
conocimiento de la notación posicional Babilonia pudo haber conducido a una
modificación del sistema Brahmi. Es posible también que el nuevo sistema tuviera
sus orígenes en los contactos hacia en Este, con China, donde el sistema
pseudoposicional de barras pudiera haber sugerido la reducción a nueve cifras.
Hay incluso una teoría que afirma que esta reducción pudo haber tenido lugar por
primera vez en Alejandría, dentro del sistema alfabético griego, y que esta idea
debió propagarse más tarde a la India. Durante el período alejandrino tardío, la
costumbre griega de escribir las fracciones usuales poniendo en numerados debajo
del denominador se invirtió, y ésta es precisamente la forma que adoptaron los
Hindúes, sin la barra que los separa. Desgraciadamente los Hindúes no aplicaron
el nuevo sistema de numeración para los enteros al campo de las fracciones
decimales, y así se perdió la ventaja potencial más importante del cambio de
notación de tipo jónico.
La referencia especifica más antigua a los numerales Hindúes data del 662 y se
encuentra en los escritos de Severo Sebokt, un obispo sirio. Como consecuencia
del cierre de las escuelas filosóficas atenienses ordenado por Justiniano,
algunos de los sabios que enseñaban en ellas se trasladaron a Siria, donde
establecieron varios centros en los que se cultivaba el saber griego, y Sebokt
debió sentirse evidentemente molesto por el desprecio que mostraban algunos de
ellos por la cultura y por el saber no griegos, y consideró necesario por lo
tanto el recordar a aquellos que ‘hablaban griego’ que ‘hay otros que también
saben algo’. Y para ilustrar este punto llama la atención sobre los Hindúes y
sus ‘sutiles descubrimientos en astronomía’ y especialmente ‘sus valiosos
métodos de cálculo y sus operaciones que sobrepasan toda descripción. Quisiera
decir solamente que sus cálculos se hacen por medio de nueve signos’. Se sabe
también que por aquella época los numerales Hindúes ya se habían estado usando
durante bastante tiempo.
El símbolo para el cero
Hay que hacer notar que la referencia a nueve símbolos y no a diez implica
evidentemente que los Hindúes no habían superado aún la segunda etapa en la
transición hacia el sistema de numeración moderno, es decir, la que consiste en
la introducción de una notación especial para una posición que falta o, lo que
es lo mismo, de un símbolo para el cero. En la historia de la matemática se
presentan muchas situaciones anómalas, y no es precisamente la menor la que
revela el hecho de que "la primera aparición indudable del cero en la India es
en una inscripción del año 876", es decir, más de dos siglos después de la
primera referencia conocida a los otros nueve numerales. No esta demostrado ni
siquiera que el número cero (en tanto que idea conceptualmente distinta de un
símbolo para una posición vacía) surgiera al mismo tiempo que los otros
numerales Hindúes. Es muy posible, en cambio, que el cero tuviera su origen en
Alejandría, y que desde allí se propagase a la India después de que el sistema
decimal posicional se hubiera consolidado allí.
Con la introducción del décimo numeral en el sistema de numeración hindú para
representar el cero, en la forma de un redondo huevo de oca, quedaba completo el
moderno sistema de numeración para los enteros. Aunque las formas Hindúes
medievales de las diez cifras numerales son muy diferentes a las que usamos hoy
en día, los principios teóricos del sistema quedaban ya definitivamente
establecidos. El nuevo sistema de numeración que llamamos usualmente ‘sistema
hindú’ no consiste más que en una nueva combinación de tres principios básicos,
todos ellos con un origen mucha más antigua:
Una base decimal
Una notación posicional
Una forma cifrada para cada uno de los diez numerales básicos
Ninguno de estos tres principios se debía, como se ha dicho, originalmente a los
Hindúes, pero lo que si se debió a ellos fue probablemente la idea de reunir por
primera vez los tres para construir el sistema de numeración moderno.
La trigonometría hindú
El desarrollo de nuestro sistema de notación para los números naturales fue sin
duda una de las dos contribuciones más importantes de la India en la historia de
la matemática. La otra consistió en la introducción de lo equivalente a la
función seno en trigonometría, para reemplazar las tablas de cuerdas griegas;
las tablas más antiguas de la relación seno que han llegado hasta nosotros son
las que figuran en los Siddhantas y en el Aryabhatiya, donde se dan los senos de
los ángulos menores o iguales que 90 para 24 intervalos angulares iguales a cada
uno. Para expresar la longitud del arco y la del seno en términos de la misma
unidad, se tomaba como radio 3,438 unidades y la circunferencia correspondiente
como 360·60 = 21600 unidades; estos valores implican un valor de p que coincide
con el de Ptolomeo hasta la cuarta cifra significativa, pero Aryabhata utiliza
en otros contextos el valor para p, valor que aparece tan frecuentemente en la
India que se le conoce a veces como ‘el valor hindú para p’
Para el seno de se toma exactamente el número de unidades que contiene el arco,
es decir ; traducido a lenguaje moderno, el seno de un ángulo pequeño es igual
casi igual a la medida del ángulo en radianes, que es justamente lo que hacían
los Hindúes. Para las entradas restantes de la tabla de senos utilizaban una
fórmula de recursión que puede expresarse de la forma siguiente: si designamos
por Sn en n-ésimo seno en la sucesión que va de n = 1 a n = 24, y si la suma de
los n primeros senos es Rn, entonces . A partir de esta regla uno puede deducir
fácilmente que sen = 449, sen =671, sen 15º=890, y así hasta sen 90º=3438, que
son los valores que aparecen en las tablas de los Siddhantas y del Aryabhatiya.
Las tablas incluyen además los valores de lo que se conoce como seno verso de un
ángulo, es decir, de 1 – cos q en forma trigonométrica moderna, o de 3438*(1 – cos q) en forma trigonométrica hindú, desde sen vers. =7 a sen ves. 90º=3438. Si
se divide los números que figuran en la tabla por 3438 se encuentran resultados
que se aproximan mucho a los valores correspondientes en las tablas
trigonométricas modernas.
El método de multiplicación hindú
La trigonometría hindú fue evidentemente una herramienta para la astronomía tan
útil como precisa. El cómo llegaron los Hindúes a resultados tales como la forma
de recursión para los senos que se acaba de mencionar, es desconocido, pero sí
se ha sugerido que tales reglas pudieron venir motivadas por un desarrollo
intuitivo o empírico del cálculo con ecuaciones en diferencias y de la práctica
de la interpolación; de hecho se suele caracterizar frecuentemente a la
matemática hindú en general como ‘intuitiva’, para ponerla en contraste con el
severo racionalismo griego. A pesar de que es evidente la influencia griega en
la trigonometría hindú, los Hindúes parecen no haber tenido ocasión de adoptar
la geometría griega, o bien no aprovecharon la ocasión, interesados como estaban
únicamente en reglas de medición sencillas. Hay muy escasa evidencia en la India
del estudio de problemas geométricos que podríamos llama clásicos, o de curvas
distintas a la circunferencia, e incluso las secciones cónicas parecen haber
sido ignoradas por los Hindúes, lo mismo que por los chinos. En cambio a los
matemáticos Hindúes les fascinaban las cuestiones numéricas, ya tuvieran que ver
solamente con las operaciones aritméticas usuales o con la resolución de
ecuaciones determinadas e indeterminadas. La suma y la multiplicación se hacían
en la India casi de la misma manera como las hacemos hoy, excepto en que los
Hindúes parecen haber preferido al principio escribir los números con las
unidades de orden menor a la izquierda, y procedían por lo tanto de izquierda a
derecha, utilizando pequeñas pizarras cubiertas con pintura blanca no permanente
que se iba quitando al escribir sobre ellas, o bien una tabla cubierta de arena
o harina. Ente los métodos utilizados para multiplicar había uno que se conoce
con varios nombres distintos: multiplicación en celosía o multiplicación en
celdillas o en cuadrilátero. Se recurrirá a dos ejemplos a fin de ilustrar el
método.
En el primero de ellos el numero 456 aparece multiplicado por 34; el
multiplicando esta escrito en la parte superior del retículo y el multiplicador
a la izquierda, y los productos parciales ocupan las celdas cuadradas, de manera
que al sumar los dígitos en diagonal de arriba a la izquierda abajo a la derecha
se obtiene el producto 15.504 que aparece en la parte inferior y derecha el
rectángulo. En la otra figura se indica que los datos pueden ser ubicados
también de otras maneras; aquí se ve el multiplicando 537 situado de nuevo en la
parte superior y el multiplicador 24 en cambio a la derecha, mientras que el
producto 12.888 se lee por la izquierda y la parte inferior del rectángulo. Son
posibles aún otras modificaciones de detalle, pero, en su principio fundamental,
la multiplicación por celosía es la misma que la nuestra, desde luego, y la
distribución de los dígitos por celdillas no es más que un hábil recurso para
evitar el trabajo mental de ‘llevar’ de un lugar al siguiente las decenas que
van a pareciendo en los productos parciales; la única operación de ‘llevar’ que
no se evita en este método es la que resulta al sumar al final los productos
parciales diagonalmente.
La división larga
No se sabe donde tuvo su origen el método de multiplicación por celosía, pero
parece lo más probable que fuera en la India, puesto que allí se utilizaba ya en
el siglo XII como mínimo, y de la india parece ser que se extendió a China y
Arabia. De los árabes pasó a Italia durante los siglos XIV y XV, y aquí fue
donde recibió en nombre de celosía debido a la semejanza del diagrama con las
rejillas de madera que adornaban y protegían las ventanas en Venecia y otras
ciudades italianas. Los árabes, y a través de ellos más tarde los europeos,
adoptaron la mayor parte de los artificios aritméticos de los Hindúes, y por lo
tanto es muy probable que también provenga de la India el método de ‘división
larga’ conocido como el método de la galera, por su semejanza con un barco con
las velas desplegadas. Supóngase la división de 44977 por 382; primero aparece
hecha la división por el método moderno, y luego por el método de la galera.
Este segundo se parece mucho al primero, excepto en que el dividendo aparece en
el medio, ya que las restas se hacen cancelando los dígitos y poniendo las
diferencias encima de los minuendos y no debajo. Así pues, el resto final
aparece en la parte superior derecha y no en la parte inferior.
117
382)44977
382
677
382
2957
2674
283
2
23
398
16753
382 44977 117
38224
387
26
El proceso reproducido es fácil de seguir si tenemos en cuenta que los dígitos
de un substraendo dado, como el 2674, o de una diferencia dada como la 2957, no
figuran todos ellos necesariamente en una misma fila, y que los substraendos
aparecen escritos por debajo de la línea central y las diferencias por encima;
por otra parte la posición en una columna es importante, pero no la posición en
una fila. El cálculo de raíces probablemente siguió un esquema análogo al de la
galera, ligado con la época posterior en la forma del triángulo de Pascal, pero
los matemáticos Hindúes no daban nunca las explicaciones de sus cálculos ni
demostraciones de sus reglas; es posible que las influencias china o Babilónica
jugaran un papel importante en el proceso de la evolución del cálculo de raíces.
Se dice que ‘la prueba de los nueve’ es un invento hindú, pero parece que los
griegos ya conocían esta propiedad mucho antes, aunque no la usaron de una
manera general, y que este método se popularizó solamente con los árabes hacia
el siglo XI.
Brahmagupta
Los últimos párrafos pueden dejar la impresión injustificada de que en la
matemática hindú hubo un alto grado de uniformidad, puesto que varias veces se
ha calificado diversos desarrollos simplemente como ‘de origen hindú’, sin
especificar el período al que corresponden. El problema esta precisamente en que
la cronología hindú es muy insegura. Por ejemplo, el material que aparece en el
importante manuscrito de Bakshali, que contiene una aritmética anónima, data,
según algunos historiadores, del siglo III o IV, según otros, del siglo VI;
según otro, del siglo VIII o IX o más tarde aún, y hay incluso opiniones que
mantienen que puede son ser siquiera de origen hindú. Se ha situado la obra de
Aryabhata alrededor del año 500, pero la fecha no es segura, ya que hubo dos
matemáticos con ese nombre y no se puede atribuir con seguridad los resultados
al más viejo. La matemática hindú presenta problemas históricos más difíciles de
resolver que la griega, debido a que los autores Hindúes raramente mencionan a
sus predecesores, a la vez que muestran una sorprendente independencia en sus
planteamientos matemáticos. Así ocurre, por ejemplo, que Brahmagupta, que vivió
en la India central algo más de un siglo después que Aryabhata, tiene muy poco
que ver con su antecesor que había vivido en la región oriental de la India.
Brahmagupta menciona dos valores de p, el valor práctico 3 y el valor exacto,
pero no menciona en cambio el valor más aproximado de Aryabhata, y en la
trigonometría que incluye su obra más conocida, el Brahmasphuta Siddhanta,
adopta como radio del circulo el valor 3270 en vez del 3438 de Aryabhata. En un
aspecto al menos sí se parece a su antecesor, y es en la mezcla indiscriminada
de resultados correctos e incorrectos. Brahmagupta calcula el ‘área bruta’ de un
triángulo isósceles multiplicando la mitad de la base por uno de los lados
iguales; para el triángulo escaleno de base 14 y lados 13 y 15 calcula el ‘área
bruta’ multiplicando la mitad de la base por la media aritmética de los otros
dos lados. En cambio, para hallar en ‘área exacta’ utiliza la fórmula de
Arquímedes–Herón. Para el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo
da lo equivalente al resultado trigonométrico correcto , pero esto no es más que
una reformulación del resultado conocido y por Ptolomeo en su lenguaje de
cuerdas. El resultado quizá más bello de Brahmagupta es su generalización de la
‘formula de Herón’ para calcular el área de un cuadrilátero; esta fórmula, donde
a, b, c, d son los lados del cuadrilátero y s es el semiperímetro, aún lleva su
nombre, pero la gloria de este descubrimiento queda un tanto empañada por su
fracaso en darse cuenta de que tal fórmula sólo es correcta en el caso de un
cuadrilátero cíclico. La fórmula correcta para un cuadrilátero arbitrario es
,donde a es la semisuma de dos ángulos opuestos en el cuadrilátero. Brahmagupta
da también como regla para hallar el área bruta de un cuadrilátero la fórmula
prehelénica que consiste en multiplicar las medias aritméticas de los dos pares
de lados opuestos.
La fórmula de Brahmagupta
Las contribuciones de Brahmagupta al álgebra son mucho más importantes que sus
reglas para el cálculo de áreas, ya que se encuentran aquí soluciones generales
de ecuaciones cuadráticas incluyendo las dos raíces aún en casos en que una de
ellas es negativa, de hecho, la primera vez que aparece sistematizada la
aritmética de los números negativos y del cero es en la obra de Brahmagupta.
Reglas esencialmente equivalentes a las que controlan las operaciones
aritméticas con magnitudes negativas aparecían ya en los teoremas del álgebra
geométrica de los griegos, pero referidas siempre a propiedades de la operación
de restar, tales como, por ejemplo, (a – b)·(c – d)=ac + bd – ad –bc, pero a los
Hindúes corresponde el mérito de haber dado un paso decisivo al convertir estas
reglasen reglas ‘propiamente numéricas’ acerca de los números positivos y
negativos. Además, aunque los griegos tuvieron un concepto de la nada y el
vacío, no lo interpretaron nunca como un número, tal como lo hicieron los
Hindúes. Sin embargo es justamente en este contexto donde Brahmagupta vuelve a
estropear un poco las cosas al afirmar que 0:0=0, mientras que en la cuestión
clave acerca del valor del cuociente a:0, para a¹ 0, simplemente no se
pronuncia:
Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es afirmativo
(+ : + = - : - = +). Cifra dividido por cifra es nada (0 : 0 = 0). Positivo
dividido por negativo es negativo (+ : - = -). Negativo dividido por afirmativo
es negativo (- : + = -). Positivo o negativo dividido por cifra es una fracción
que la tiene por denominados (a:0=)
Hay que decir también que los Hindúes consideraban igualmente como números las
raíces irracionales de otros números, cosa que no hicieron nunca, desde luego,
los griegos. Este paso supuso una ayuda enorme para el álgebra, y los
matemáticos Hindúes han sido muy elogiados por decidirse a adoptar esta medida,
pero hay que recordar, no obstante, que en este caso la contribución hindú fue
el resultado de una inconsistencia lógica más que de una profundidad matemática.
Ya se ha visto que los matemáticos Hindúes carecieron de una distinción clara
entre los resultados exactos y los inexactos, y en consecuencia era lo más
natural que no tomaran en consideración seriamente las diferencias profundas
entre las magnitudes conmensurables y las inconmensurables. Para ellos no había
ningún impedimento en aceptar los números irracionales, y las generaciones
posteriores siguieron su mismo camino de una manera alegre e ingenua, hasta que
en el siglo XIX consiguieron al fin los matemáticos fundamentar el sistema de
los números reales sobre una base sólida.
La matemática hindú consistió, como se ha dicho, de una mezcla de bueno y malo,
pero parte de lo bueno fue extraordinariamente bueno, y a este respecto
Brahmagupta merece que no se le regateen elogios. El álgebra hindú es notable
especialmente por su desarrollo del análisis indeterminado, al que Brahmagupta
mismo hizo varias contribuciones; para mencionar solo una, aparece en su obra
una regla ara la formación de ternas pitagóricas expresada en la forma, aunque
ésta sea solamente una forma modificada de la vieja regla Babilónica que
Brahmagupta pudo muy bien conocer. La fórmula de Brahmagupta para el área de
cuadriláteros, comentada más arriba, la utilizaba junto con las fórmulas y para
las diagonales, para hallar cuadriláteros cuyos lados, diagonales y áreas fueran
todos ellos números racionales. Entre estos cuadriláteros se construye el que
tiene por lados a=52, b=25, c=39 y d=60,y por diagonales 63 y 56. Brahmagupta da
como ‘área bruta’ de este cuadrilátero pese al hecho de que en este caso su
fórmula da el área exacta 1.764.
La teoría de las ecuaciones indeterminadas
Es evidente que Brahmagupta amaba la matemática por sí misma, al igual que
muchos de sus paisanos, ya que ningún ingeniero con mentalidad práctica se
hubiera planteado muchas cuestiones tales como las que se planteaba Brahmagupta
cobre los cuadriláteros. Cabe admirar aún más su actitud matemática al descubrir
que él fue el primero que dio con una solución general de la ecuación lineal
Diofántica lineal ax + by = c, con a, b y c enteros. Para que esta ecuación
tenga soluciones enteras, en máximo común divisor entre a y b debe dividir a c,
y Brahmagupta sabía que si a y b eran primos entre sí, entonces todas las
soluciones de la ecuación vienen dadas por las fórmulas x = p + mb, y y = q –
ma, donde m es un entero arbitrario. Brahmagupta estudió también la ecuación
Diofántica cuadrática x2 = 1 + py2, que recibe erróneamente el nombre de John
Pell (1611-1685) y que apareció por primera vez en el problema de los bueyes de
Arquímedes. Esta ecuación de Pell fue resuelta en algunos caso particulares por
el matemático Bhaskara (1114-1185), hindú como Brahmagupta.
Es realmente notable el mérito de Brahmagupta de dar todas las soluciones
enteras de una ecuación Diofántica lineal, mientras que Diofanto se había
contentado con dar una única solución particular de una ecuación indeterminada.
Dado que Brahmagupta utiliza en algunos los mismos ejemplos que Diofanto, se
puede ver de nuevo reforzada la evidencia de una influencia griega en la India,
o bien la posibilidad de que ambos hicieran uso de una fuente común,
verosímilmente de la antigua Babilonia. Un detalle interesante a subrayar es el
que el álgebra de Brahmagupta es sincopada, como la de Diofanto: la suma se
indica por una simple yuxtaposición, la resta colocando un punto sobre el
sustrayendo, y la división escribiendo el divisor debajo del dividendo como en
nuestra notación para las fracciones, pero sin la barra separadora. Las
operaciones de multiplicación y de ‘evolución’ (extracción de raíces), así como
las cantidades incógnitas vienen representadas por medio de abreviaturas de las
palabras correspondientes.
Bhaskara
La India produjo un cierto número de matemáticos medievales tardíos, pero sólo
se analizará la obra de uno de ellos, Bhaskara, el matemático más importante del
siglo XII y el que completo algunos huecos en la obra de Brahmagupta, como hizo
al dar una solución de la ecuación de Pell y al enfrentarse al problema de la
división por cero. Aristóteles ya había hecho observar que no hay ninguna razón
en la que un número tal como cuatro exceda al número cero, pero lo cierto es que
la aritmética del cero no formó parte de la matemática griega, y Brahmagupta no
se había pronunciado sobre la división de un número distinto de cero por cero.
Así pues, la primera vez que nos encontramos con la afirmación de que tal
cociente es infinito es en el VijaGanita de Bhaskara.
Proposición: Dividendo 3. Divisor 0. Cociente la fracción . Esta fracción de la
que el denominador es cifra se llama cantidad infinita. En esta cantidad que
consiste en lo que tenga cifra como divisor, no hay alteración posible por mucho
que se añada o se extraiga, lo mismo que no hay cambio en Dios infinito e
inmutable
Esta proposición suena muy prometedora, pero inmediatamente a continuación se
revela una falta de entendimiento claro de la situación por parte de Bhaskara al
afirmar que
Bhaskara fue el último matemático medieval importante de la india, y su obra
representa la culminación de las contribuciones Hindúes anteriores a su época.
En su tratado más conocido, el Lilavati, reunió Bhaskara problemas diversos
procedentes de Brahmagupta y de otros matemáticos, añadiéndoles nuevas
observaciones de su propia cosecha. El título mismo del libro puede ser tomado
como un buen ejemplo de la calidad desigual del pensamiento hindú, al menos
desde un punto de vista occidental, ya que el nombre al que se reduce el título
es precisamente el de la hija de Bhaskara que, según la leyenda, perdió la
oportunidad de casarse debido a la confianza de su padre en sus predicciones
astrológicas. Bhaskara había calculado que su hija sólo podría casarse en
condiciones favorables a una hora concreta de un determinado día; el día que
había de ser su afortunado casamiento la impaciente muchacha se encontraba
observando atentamente la clepsidra (reloj de agua), inclinada sobre ella,
mientras se iba acercando la hora de su boda, cuando de pronto cayo al agua
inadvertidamente una de las perlas de su tocado, obstruyendo así la salida del
agua de la clepsidra. Como era de esperar, antes de que se advirtiera el
desgraciado accidente había transcurrido ya la hora propicia, y el padre, para
tratar de consolar a la desdichada muchacha, puso su nombre al libro comentado.
El Lilavati
El Lilavati, lo mismo que el VijaGanita, contiene numerosos problemas que tratan
los problemas favoritos de los Hindúes: ecuaciones lineales y cuadráticas, tanto
determinadas como indeterminadas, siendo problemas de medida de áreas,
progresiones aritméticas y geométricas, raíces, ternas pitagóricas u otros. El
problema del bambú roto popular también en China e incluido ya por Brahmagupta,
aparece aquí en la forma siguiente. Si un bambú de 32 codos de altura ha sido
roto por el viento de tal manera que su extremo superior queda apoyado en el
suelo a una distancia de 16 codos de su base, ¿a qué altura sobre el suelo se
produjo la fractura? Otro problema en que se utiliza el teorema de Pitágoras es
el siguiente: Un pavo real se encuentra posado en el extremo de un poste
vertical en cuya base hay un agujero de culebra; observando la culebra a una
distancia del pie del poste igual a tres veces su altura, el pavo real se lanza
sobre ella en línea recta mientras la culebra intenta ganar su agujero. Si el
pavo real captura a la culebra cuando ambos han recorrido la misma distancia ¿a
cuántos codos e distancia del agujero se produjo la captura?
Estos dos problemas ilustran muy bien el carácter heterogéneo del Lilavati,
puesto que, a pesar de su aparente semejanza y del hecho de que se pida una
única solución, uno de los problemas es determinado y el otro indeterminado. Al
tratar de círculos y esferas, no consigue tampoco el Lilavati distinguir entre
resultados exactos y sólo aproximados; el área del círculo, por ejemplo, se
expresa correctamente como un cuarto de la circunferencia por el diámetro, y el
volumen de la esfera como un sexto del producto del área por el diámetro, pero
en cambio Bhaskara sugiere como razón de la circunferencia al diámetro o bien o
bien el ‘valor bruto’ de . El primero es equivalente a la razón que menciona,
pero no utiliza, Aryabhata, pero nada nos hace sospechar, ni en Bhaskara ni en
ningún otro matemático hindú, que fueran conscientes de que todas las razones
propuestas eran sólo aproximaciones. Sin embargo, Bhaskara se apresura a
condenar severamente a sus predecesores por haber utilizado las fórmulas de
Brahmagupta para el área y las diagonales de un cuadrilátero en general,
basándose en su acertada observación de que un cuadrilátero no queda
inequívocamente determinado por sus lados. Parece evidente, en cambio, que no se
dio cuenta de que las fórmulas en cuestión si que son correctas en todos los
cuadriláteros cíclicos.
Ya se ha dicho que muchos de los problemas de Bhaskara que aparecen en el
Lilavati y en el VijaGanita provienen de fuentes anteriores, y por lo tanto no
constituye una sorpresa el ver al autor mostrando un gran dominio de la
situación a tratar problemas de análisis indeterminado. Por lo que se refiere a
la ecuación de Pell x2 = 1 + py2, de la que ya se había ocupado anteriormente
Brahmagupta, Bhaskara da soluciones particulares para los cinco valores del
parámetro p=8, 11, 32, 61 y 67; para la ecuación x2 = 1 + py2, por ejemplo, da
la solución x=1.776.319.049, y = 22.615.390. Esto constituye sin duda una
verdadera hazaña de cálculo, y sólo comprobar que la solución es correcta pone a
prueba la paciencia.
Los libros de Bhaskara están llenos, por otra parte, de ejemplos variados de
problemas Diofánticos.
Ramanujan
Bhaskara murió a finales del siglo XII, y durante varios siglos a partir de esa
fecha fueron muy pocos los matemáticos de estatura comparable que aparecieron en
la India. Es interesante, sin embargo, hacer notar aquí precisamente que
Srinivasa Ramanujan (1887-1920) tenía la misma habilidad manipuladora en
aritmética y en álgebra que se ha encontrado en Bhaskara. En la obra de
Ramanujan nos encontramos también con el aspecto desorganizado, la potencia del
razonamiento intuitivo y el desprecio por la geometría que aparecían de manera
relevante en sus predecesores. Aunque es posible que estas características se
desarrollaran quizá en Ramanujan de una manera especial por su formación
autodidacta, no se puede por menos que observar lo sorprendentemente distinto
que fue el desarrollo de la matemática en la India de cómo lo había sido en
Grecia. Incluso cuando los Hindúes adoptaron conocimientos tomados de sus
vecinos, reestructuraron estos materiales a su peculiar manera. A pesar de que
sus actitudes e intereses estaban más próximas a las de los chinos que a las de
los griegos, no compartieron la fascinación que sentían estos últimos por los
métodos exactos de aproximación, tales como los que conducen al método de
Horner, y a pesar también de que compartían con los Mesopotámicos un punto de
vista preponderantemente algebraico, tendieron a evitar el sistema de numeración
sexagesimal en álgebra. En resumen, los eclécticos matemáticos Hindúes adoptaron
y desarrollaron solamente aquellos aspectos que les atraían y, desde un cierto
punto de vista al menos, puede decirse que fue desafortunado el hecho de que su
primer amor haya sido la teoría de números en general y al análisis
indeterminado en particular, porque el crecimiento y desarrollo posterior de la
matemática no iba a surgir de estos campos, la geometría analítica y el cálculo
infinitesimal tuvo raíces griegas y no Hindúes, y el álgebra europea moderna
provenía más de los países más bien que de la India. Hay sin embargo, en la
matemática moderna al menos dos cosas lo que debe la matemática a la India en su
desarrollo, lo mismo que a tantos otros países. La trigonometría de la función
seno proviene verosímilmente de la India, y nuestro sistema de numeración actual
para los enteros recibe con toda propiedad el nombre de sistema Hindú-Árabe para
indicar su probable origen en la India y su divulgación a través de Arabia.
Aceptamos saludos, felicitaciones, colaboraciones, aportaciones,
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